ICPC2017 Asia Regional Tsukuba I Starting a Scenic Railroad Service

ICPC データ構造

Hは解説みて通しはしたけど解法の意味がわからない。

問題

n人の乗客がいてそれぞれ駅s[i]からt[i]まで電車に乗る。
全員が座るためには各人が席を指定できないとき、最小でいくつの座席が必要であるか、
また各人が自由に席を指定できるとき最小でいくつの座席が必要であるか求めよ。


また、乗客Aが駅1から2乗客Bが駅2から3まで乗るとき座席は１つで足りる。

制約条件

n≦10万

解法

座席を指定できないときは区間の重なりで一番大きいところを見るだけなので累積和を使えばよい。指定できるときは少し考える必要がある。


ある人iの乗る区間s[i]からt[i]に乗り合わせる人が何人いるかが全部わかれば、その数+1がその人が座るのに必要な座席の数。
これを効率的に数える。

s[i]からt[i]に交わる区間は

  • s[i]からt[i]の中に完全に含まれる
  • s[i]からt[i]を完全に含む（これは考えなくてよい）
  • s[i]からt[i]の間で降りる
  • s[i]からt[i]の間で乗る

最大値を求めるので、別の区間に完全に含まれている場合最大値になりえないのでその区間は見なくてよい。自分を含む区間は数えなくても支障がない。
３番のケースと４番のケースを足すと１番のケースは二回数えてるので引く必要がある。


セグメント木等を使ってそれらの和を速く求めればよい。
完全に含まれる区間は、平面上で矩形領域を探すクエリに対応する。
点j(s[j], t[j])であってs[j]がx以上、t[j]がy以下の点の個数を求めるような感じ。
これはクエリと点をy座標の小さい順にソートして、セグメント木に入れながらクエリに答えるようなことをすればよい。

ソースコード

int calc2(int n, const vi &a, const vi &b){
	vector<pi> v;
	rep(i, n){
		v.emplace_back(a[i], 1);
		v.emplace_back(b[i], -1);
	}
	sort(all(v));
	int sum = 0, mx = 0;
	for(pi p : v){
		if(p.second < 0) --sum;
		else mx = max(mx, ++sum);
	}
	return mx;
}
template<class T>struct SegTreeSum{
	T *dat;
	int n;
	SegTreeSum(int size = 1000000){
		for(n = 1; n < size; n *= 2);
		dat = new T[2 * n - 1];
		init();
	}
	~SegTreeSum(){ delete [] dat; }
	
	void init(){
		rep(i, 2 * n - 1) dat[i] = 0;
	}
	void inc(int k){
		k += n - 1;
		dat[k]++;
		
		while(k > 0){
			k = (k - 1) / 2;
			dat[k] = dat[k * 2 + 1] + dat[k * 2 + 2];
		}
	}
	T query(int a, int b, int k, int l, int r){
		if(r <= a || b <= l) return 0;
		if(a <= l && r <= b) return dat[k];
		
		T vl = query(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2);
		T vr = query(a, b, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r);
		
		return vl + vr;
	}
	T query(int a, int b){ return query(a, b, 0, 0, n); }
};
int calc1(int n, const vi &a, const vi &b){
	const int MX = 100010;
	SegTreeSum<int> from(MX);
	SegTreeSum<int> to(MX);
	SegTreeSum<int> tmp(MX);
	vector<tuple<int, int, int>> v;
	
	rep(i, n){
		from.inc(a[i]);
		to.inc(b[i]);
		v.emplace_back(b[i], -a[i], i);
	}
	sort(all(v));
	int ans = 0;
	rep(i, v.size()){
		int a, b, id; tie(b, a, id) = v[i]; a *= -1;
		int cnt = 0, skip = 0;
		for(int j = i; j < v.size(); j++){ //完全に同じ区間があるとき面倒
			if(get<0>(v[j]) != b || get<1>(v[j]) != -a) break;
			tmp.inc(a);
			skip++;
		}
		i += skip - 1;
		
		cnt += from.query(a, b);
		cnt += to.query(a + 1, b + 1);
		cnt -= tmp.query(a, b);
		ans = max(ans, cnt);
	}
	return ans;
}

int main(){
	int n; cin >> n;
	vi a(n), b(n);
	rep(i, n) cin >> a[i] >> b[i];
	
	int ans2 = calc2(n, a, b);
	int ans1 = calc1(n, a, b);
	cout << ans1 << " " << ans2 << endl;
	return 0;
}